아치 모델은 Engle (R R.) 이 1982 에서 제안했고 Borus Levin (T T., 1986) 에서 ARCH (일반화 아치) 로 발전했다 이 모델들은 경제학의 각 분야에 광범위하게 적용된다. 특히 금융 시계열 분석에서는 더욱 그렇다.
일반적인 생각에 따르면 자기 상관의 문제는 시계열 데이터에만 해당되며, 이분산은 단면 데이터의 특성입니다. 그러나 시계열 데이터에서 이차가 발생합니까? 어떻게 나타날까요?
Engel 과 Cragg (Kraft, D., 1983) 는 매크로 데이터를 분석할 때 시계열 모델의 교란 분산의 안정성이 일반적인 가정보다 떨어지는 현상을 발견했습니다. 엥겔의 결론은 인플레이션 모델을 분석 할 때 크고 작은 예측 오차가 많이 발생한다는 것을 보여 주며, 예측 오차의 분산은 후속 교란 항목의 크기에 달려 있음을 보여줍니다. 주가, 인플레이션율, 외환환율 등 금융 시계열을 예측하는 연구에 종사하는 연구원들은 이러한 변수를 예측하는 능력이 시간이 지남에 따라 상당히 변화했다는 것을 발견했다. 예측의 오차는 한 시기에는 비교적 작고, 한 시기에는 비교적 크며, 다른 시기에는 비교적 작다. 이러한 변화는 금융시장의 변동성으로 인한 것일 수 있으며, 금융시장은 소문, 정치변화, 정부통화, 재정정책 변화 등에 쉽게 영향을 받을 수 있다. 이는 예측 오차의 분산에 일정한 상관 관계가 있음을 보여줍니다.
이러한 연관성을 설명하기 위해 Engel 은 자동 회귀 조건 차이 (ARCH) 모델을 제시했습니다. 아치의 주요 사상은 분산 (=? T2) 시간에 따라 다름 (t? 1), ut2- 1 에 따라 달라집니다.
(a) 아치 모델
보다 구체적으로 k 변수 회귀 모델로 돌아가 보겠습니다.
(5.1..1)
그리고 시간에 있다고 가정 (t? 1) 모든 정보가 알려진 경우 교란 항목 ut 의 분포는 다음과 같습니다.
~ (5. 1.2)
즉, ut 은 0 의 평균을 따릅니다. (? 0+? 12T- 1) 는 분산의 정규 분포입니다.
Ut 의 분산 (5. 1.2) 은 이전 기간의 제곱 교란 항목에 따라 달라지므로 ARCH( 1) 프로세스라고 합니다.
그러나 널리 보급되기 쉽다.
예를 들어, 아치 (p) 프로세스는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(5. 1.3)
교란 항목의 분산이 자기 상관을 하지 않으면,
H0:
지금 이 순간
이렇게 하면 오차 분산의 동측 차이를 얻을 수 있다.
겔은 다음과 같은 회귀를 통해 위의 가상 가설을 쉽게 검사할 수 있다고 밝혔다.
(5. 1.4)
그 중? T 는 원래 회귀 모형에서 추정된 OLS 잔차 (5.1..1) 를 나타냅니다.
2) GARCH( 1, 1) 모델
우리는 ut 의 분산이 많은 시점 이전의 변화량 (특히 금융 분야, 특히 일일 데이터 또는 주 데이터 사용 응용 프로그램) 에 달려 있다고 생각하는 경우가 많습니다. 여기서 문제는 우리가 많은 매개 변수를 예상해야 하기 때문에 정확하게 하기 어렵다는 것이다. 하지만 방정식 (5. 1.3) 이 정의라는 것을 알 수 있다면 어떨까요? T2 분포 지연 모델, 하나 또는 두 개를 사용할 수 있습니까? T2 의 지연 값은 ut2 의 많은 지연 값을 대체하는데, 이는 일반화 된 자동 회귀 조건 이분 산성 모델 (GARCH 모델) 입니다. GARCH 모델에서는 두 가지 다른 설정을 고려해야 합니다. 하나는 조건부 평균이고 다른 하나는 조건부 분산입니다.
표준화된 GARCH( 1, 1) 모델에서 다음을 수행합니다.
(5. 1.5)
(5. 1.6)
여기서 XT 는 1×(k+ 1) 차원 외생 변수 벡터입니다. 이것은 (k+ 1)× 1 의 벡터입니다. (5. 1.5) 에 제공된 평균 방정식은 오차 항목이 있는 외생 변수 함수입니다. 왜냐하면? T2 는 이전 정보를 기반으로 한 미래 예측 분산이므로 조건 분산이라고 합니다.
(5. 1.6) 에 제공된 조건부 분산 방정식은 다음 세 가지 항목의 함수입니다.
1. 상수 항목 (평균):?
2. 평균 방정식 잔차 제곱의 지연 (5. 1.5) 으로 이전 기간에서 얻은 변동률 정보를 측정합니다 (ut2- 1(ARCH 항목).
3. 이전 기간의 예측 차이:? T2- 1 (GARCH 프로젝트).
GARCH( 1, 1) 모델의 (1) 는 차수가 1 인 GARCH 항목 (괄호 안의 첫 번째 항목) 을 나타냅니다 일반적인 ARCH 모델은 GARCH 모델의 특수한 경우입니다. 즉, 조건부 분산 방정식에는 지연 예측 분산이 없습니다. T2 에 대한 설명입니다.
EViews 에서 ARCH 모델은 오차가 조건부 정규 분포라는 가정 하에 최대 우도 함수 방법을 사용하여 추정됩니다. 예를 들어 GARCH( 1, 1) 의 경우 t 기간의 로그 우도 함수는 다음과 같습니다.
(5. 1.7)
안에 ...
(5. 1.8)
에이전트나 거래자는 장기 평균의 가중 평균 (상수), 이전 기간의 예상 분산 (GARCH 항목) 및 이전 기간에 관찰된 변동률에 대한 정보 (ARCH 항목) 를 설정하여 현재 기간의 분산을 예측할 수 있기 때문에 이러한 해석은 일반적으로 금융 분야로 설명할 수 있습니다. 상승하거나 하락한 자산 수익이 의외로 크다면 거래자는 다음 분산에 대한 기대치를 높일 것이다. 이 모델에는 재무 수익 데이터에서 자주 볼 수 있는 변동 그룹도 포함되어 있으며, 그 중 소득의 급격한 변동은 더 큰 변동을 수반할 수 있습니다.
(c) 분산 방정식의 회귀 계수
등식 (5. 1.6) 은 외생 또는 미리 결정된 회귀 계수 z 를 포함하는 분산 등식으로 확장할 수 있습니다.
(5.1..11)
이 모델에서 얻은 예측 분산은 양수로 보장할 수 없습니다. 음수 예측 값을 생성할 가능성을 최소화하기 위해 항상 양수인 회귀 산자를 도입할 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 다음과 같이 물어볼 수 있습니다.
(5.1..12
GARCH(p, q) 모델
고급 GARCH 모델은 1 보다 큰 p 또는 q 를 선택하여 GARCH(p, q) 라고 추정할 수 있습니다. 분산은 다음과 같이 표시됩니다.
(5.1..13)
여기서 p 는 GARCH 항목의 차수이고 q 는 ARCH 항목의 차수입니다.
금융이론에 따르면 관찰 가능한 위험이 높은 자산은 높은 평균 수익을 얻을 수 있다. 금융자산의 수익은 위험에 비례해야 한다는 인식이 널리 퍼져 있고, 위험이 커질수록 예상 수익이 높아지기 때문이다. 조건부 분산을 사용하여 예상되는 위험을 나타내는 이러한 모델을 아치-인-메인 모델 또는 아치-m 회귀 모델이라고 합니다. ARCH-M 에서는 조건 분산을 평균 방정식에 도입합니다.
(5.1..14)
ARCH-M 모델의 또 다른 형태는 조건 분산을 조건 표준 편차로 변환하는 것입니다.
또는 로그를 가져 가라.
ARCH-M 모델은 일반적으로 자산의 예상 수익이 예상 위험과 밀접한 관련이 있는 금융 분야에 사용됩니다. 예상 위험의 추정 계수는 위험 이익 거래에 대한 측정입니다. 예를 들어, 상하이 증권 지수의 쿠폰과 같은 주식 지수의 쿠폰은 상수 항목, 인플레이션 율에 달려 있다고 생각할 수 있습니다. T 및 조건 분산:
예상 위험이 조건부 분산으로 표시되는 이러한 모델을 GARCH-M 모델이라고 합니다.
ARCH-M 모델은 일반적으로 자산의 예상 수익이 예상 위험과 밀접한 관련이 있는 금융 분야에 사용됩니다. 예상 위험의 추정 계수는 위험 이익 거래에 대한 측정입니다. 예를 들어, 상하이 증권 지수의 쿠폰과 같은 주식 지수의 쿠폰은 상수 항목, 인플레이션 율에 달려 있다고 생각할 수 있습니다. T 및 조건 분산:
예상 위험이 조건부 분산으로 표시되는 이러한 모델을 GARCH-M 모델이라고 합니다.