정의
타원은 원뿔 단면(원추 단면이라고도 함)입니다.
1. 평면 위의 두 점까지의 거리의 합은 다음과 같습니다. 상수 값 점 집합(고정 값은 두 점 사이의 거리보다 큼, 일반적으로 2a라고 함)(이 두 고정 점은 타원의 초점이라고도 하며 초점 사이의 거리는 초점 길이라고 함)
2. 평면(Plane) 고정점까지의 거리가 고정된 직선까지의 거리에 대한 일정한 비율인 점들의 집합(고정점은 고정된 직선 위에 있지 않고 상수는 양수이다) 1보다 작은 수) (고정점은 타원의 초점이고 직선을 타원의 준선이라고 합니다) ). 이 두 가지 정의는 동일합니다.
[이 단락 편집] 표준 방정식
고등학교 교과서는 평면 데카르트 좌표계의 타원을 설명하기 위해 방정식을 사용합니다. 타원 "표준"은 원점의 중심과 대칭축을 좌표축으로 나타냅니다.
초점이 있는 좌표축에 따라 타원의 표준 방정식은 두 가지가 있습니다.
1) 초점이 X축에 있는 경우 표준 방정식은 다음과 같습니다. ^2/a^2 y ^2/b^2=1 (agt; bgt; 0)
2) 초점이 Y축에 있을 때 표준 방정식은 다음과 같습니다. x^2/b ^2 y^2/a^2=1 (agt; bgt; 0)
여기서 agt; 0. a와 b 중 큰 것이 타원의 장 반축의 길이이고, 짧은 것이 단축의 길이입니다(타원은 두 개의 대칭축을 가지며 대칭축은 타원에 의해 차단됩니다. 두 개의 선분이 있고 그 절반을 타원의 길이라고 합니다. 반축과 반단축 또는 반장축과 반단축) agt;b일 때 초점은 x축에 있습니다. 초점 거리는 2*(a^2-b^2)^0.5이고, 초점 거리는 장축 및 반단축과 동일합니다. 관계: b^2=a^2-c^2, 준선 방정식 x=a^2/c 및 x=-a^2/c
또한: 중심이 원점에 있는 경우, 그러나 X축에서 초점 위치가 명확하지 않은 경우 또는 Y축, 방정식은 mx^2 ny^2=1 (m>0, n>0, m≠n)로 설정할 수 있습니다. 이것이 표준방정식의 통일된 형태이다.
타원의 면적은 πab입니다. 타원은 특정 방향으로 원이 늘어나는 것으로 간주할 수 있습니다. 해당 매개변수 방정식은 다음과 같습니다. x=acosθ, y=bsinθ
x0 및 y0 점에서 표준 타원의 접선은 다음과 같습니다. xx0/a^ 2 yy0/b^2=1
[이 단락 편집] 공식
타원의 면적 공식
S=π(pi)× a×b(여기서 a와 b는 각각 타원의 장축과 단축입니다).
또는 S=π(pi)×A×B/4(여기서 A와 B는 타원의 장축입니다) 타원), 단축의 길이).
타원의 둘레 공식
타원의 둘레에 대한 공식은 없으며 적분 공식이 있습니다. 또는 무한한 기간 확장.
타원 둘레(L)를 정확하게 계산하려면 적분이나 무한 계열의 합을 사용해야 합니다.
예를 들어
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≒2π√((a^2 b^2)/2) [ 타원 대략적인 둘레], 여기서 a는 타원의 장반경, e는 이심률입니다.
타원의 이심률은 타원 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 거리로 정의됩니다. 점에서 초점에 해당하는 준선까지의 거리 비율은 타원 위의 점 P에서 특정 초점까지의 거리를 PF, 해당 준선까지의 거리를 PL이라고 가정할 때
e=PF/PL
타원의 준선 방정식
x=±a^2/C
타원의 이심률 공식
e=c/a(elt; 1, 왜냐하면 2agt; 2c이기 때문)
p>타원의 초점 거리: 타원의 초점과 해당 방향선(예: 초점) 사이의 거리 (c, 0) 및 방향선 x = a^2/C), 값 = b^2/c
타원 초점 반경 공식 |PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0
오른쪽 초점을 통과하는 타원의 반경 r=a-ex
왼쪽 초점을 통과하는 반경 반경 r=a ex
타원의 직경 타원: 초점을 통과하는 x축(또는 y축)에 수직인 직선과 타원의 두 초점 A, B 사이의 거리, 값 = 2b^2/a
위치 점과 타원점 M의 관계 (x0, y0) 타원 x^2/a^2 y^2/b^2=1
원 안의 점: x0 ^2/a^2 y0^ 2/b^2<1
원 위의 점: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1
점이 원 외부에 있음: x0 ^2/a^2 y0^2/b^2>1
직선과 타원의 위치관계
y=kx m ①
x^ 2/a^2 y^2/b^2=1 ②
①②에서 x^2/a^2 (kx m)^2/b^2=1
을 추론할 수 있습니다.접선 △=0
△<0에서 분리됨, 교차점 없음
교차됨 △>0 현 길이 공식을 사용할 수 있습니다: A(x1, y1) B( x2 , y2)
|AB|=d = √(1 k^2)|x1-x2| = √(1 k^2)(x1-x2)^2 = √(1 1/ k ^2)|y1-y2| = √(1 1/k^2)(y1-y2)^2
타원 경로(정의: 원뿔형 단면(원 제외)에서 초점과 축의 현에 수직) 공식: 2b^2/a
[이 단락 편집] 타원 매개변수 방정식의 적용
타원의 한 점에서 a까지의 거리를 구합니다. 고정점 또는 고정된 직선에 대한 최대값에서는 매개변수 좌표를 사용하여 문제를 삼각함수 문제로 변환할 수 있습니다.
관련 속성
잘린 평면으로 얻은 도형이므로 원뿔(또는 원통)은 타원일 수 있으며 원뿔 단면에 속합니다.
예: 단면으로 절단된 원통이 있습니다. 다음은 그것이 타원임을 증명합니다(위의 첫 번째 정의 사용).
두 가지를 보자. 반경은 원통의 반경과 동일합니다. 반구는 원통의 양쪽 끝에서 중앙으로 압착되어 단면에 부딪히면 멈춥니다. 그러면 단면과 단면 사이의 접선점이 분명하게 나타납니다. 공.
두 점을 F1과 F2로 둡니다.
단면의 임의의 점 P에 대해 P를 통과하는 원통의 모선 Q1과 Q2를 그리고 그 점에 접하는 대원을 그립니다. 구와 원통은 각각 Q1, Q2에서 교차합니다.
그러면 PF1=PQ1, PF2=PQ2이므로 PF1 PF2=Q1Q2
정의 1에서 단면은 다음과 같습니다. F1과 F2를 초점으로 하는 타원
같은 방법을 사용하면 (밑면을 통과하지 않는) 원뿔의 경사 부분이 타원이라는 것도 증명할 수 있습니다.
타원에는 몇 가지 광학적 특성이 있습니다. 특정 초점에서 방출된 모든 빛을 다른 초점으로 반사할 수 있습니다. 타원형 렌즈(일부 단면은 타원형임) 빛을 응축할 수 있습니다(볼록 렌즈라고도 함), 독서용 안경, 돋보기 및 원시 안경은 모두 그러한 렌즈입니다(이러한 광학적 특성). 모순증명으로 증명할 수 있다.)
-----원뿔 잘림에 관한 몇 가지 역사: 원뿔 잘림에 대한 발견과 연구는 고대 그리스에서 시작되었습니다. 유클리드(Euclid), 아르키메데스(Archimedes), 아폴로니우스(Apollonius), 파푸스(Pappus)와 같은 기하학 대가들은 모두 원뿔 단면 연구에 열중했으며, 그들 모두는 그들의 기하학적 특성을 논의한 논문을 가지고 있었는데, 그중 아폴로니우스가 쓴 8권짜리 『원뿔 단면에 대하여』가 그 정점이었다. 고대 그리스 기하학의 정점에 있는 걸작이라 할 수 있다. 당시 이러한 단순하고 완벽한 곡선에 대한 연구는 순전히 기하학적 관점에서 이루어졌으며, 원과 밀접하게 관련된 곡선을 연구하는 것은 당시 원 기하학의 자연스러운 확장이었습니다. 자연의 기본 구조에서 실제로 중요한 역할을 할 것이라는 어떤 희망이나 기대 없이 순전히 개념적인 탐구입니다. 16세기와 17세기가 되어서야 케플러의 행성 운동 3법칙이 발견되면서 우리는 태양 주위를 도는 행성의 궤도가 태양을 하나의 초점으로 하는 타원이라는 것을 깨달았습니다. 케플러의 세 가지 법칙은 현대 과학의 획기적인 발전이며, 천문학의 새로운 시대를 열었을 뿐만 아니라 뉴턴의 만유인력 법칙의 원천이기도 합니다. 원뿔의 절두체는 기하학자들이 선호하는 단순화된 것일 뿐만 아니라 자연의 기본 법칙에서 자연적으로 선택된 본질 중 하나임을 알 수 있습니다.
타원 C의 이심률은 x^2/a^2 y^2/b^2=1 (a>b>0)이 √6/3이고, 한 끝점은 단축은 오른쪽입니다. 초점의 거리는 √3입니다. (1) 타원 C의 방정식을 구합니다. (2) 직선 l: y=x 1은 두 점 a, b, P에서 타원과 교차합니다. (3) 직선 l이 두 점 A와 B에서 타원 C와 교차한다고 가정합니다. 좌표 원점 O에서 직선까지의 거리입니다. 직선 l은 √3/2입니다. △AOB 영역의 최대값을 구합니다. 단축의 끝점에서 왼쪽 및 오른쪽 초점까지의 거리의 합이 2a, 끝점에서 왼쪽 및 오른쪽까지의 거리를 분석합니다. 초점이 동일하면(타원의 정의) a=√3, c/a=√6/3을 대입하면 c==√2, b=√(a?0?5를 얻습니다. - c?0?5), b=1, 방정식은 x^2/3 y^2/1=1, 2, 면적이 필요합니다. 분명히 ab는 삼각형의 밑변으로 사용되며 동시 x^2 /3 y^2 /1=1, y=x 1, 해는 x1=0, y1=1, x2=-1.5, y2=-0.5입니다. 현 길이 공식을 사용하면 √(1 k^2)입니다. ))[x2-x1](절댓값을 나타내는 대괄호) 현 길이 = 3√2/2. 면적이 가장 큰 점 p의 경우 끈까지의 거리가 가장 커야 합니다. p를 통해 끈에 평행선을 그리면 이 평행선을 찾을 수 있습니다. 이 접선은 현과 평행하므로 기울기와 기울기가 같습니다. chord =. y=x m이라고 가정하고, 판별식을 사용하여 0이 되도록 하고, 그래프와 결합하면 m=-2.x= 1.5, y=-0.5, p(1.5,-)가 됩니다. 0.5), 직선 방정식 x-y 1=0, 점에서 직선까지의 거리 공식을 사용하여 3√2/2, 면적 1/2*3√2/2*3√ 2/2=9/4，< /피>